HC 1: Beschrijvende statistiek

Statistiek begint met beschrijven. Voordat je iets toetst, moet je weten wat voor variabele je hebt, hoe de scores verdeeld zijn en welke getallen die verdeling eerlijk samenvatten. Dit hoofdstuk behandelt de bouwstenen daarvan: meetniveaus, grafieken, maten van centrale tendentie, spreidingsmaten en de vorm van een verdeling. Op het tentamen komt dit terug in korte casussen waarin je moet kiezen welke maat of grafiek past bij een variabele, en in vragen waarin je SPSS-output van beschrijvende statistieken moet lezen.

Statistiek in de empirische cyclus

Een onderzoek begint met een probleemstelling en een literatuurstudie. Daaruit volgt een conceptueel model: welke begrippen hangen volgens de theorie met elkaar samen? Die begrippen worden geoperationaliseerd, dat wil zeggen meetbaar gemaakt, bijvoorbeeld met een vragenlijst of een schaal. Daarna volgen dataverzameling, datapreparatie (fouten opsporen, hercoderen, schalen maken), analyse en conclusies. Statistiek zit vooral in het empirische deel: de analyse van de gegevens en het vertalen van statistische uitkomsten naar inhoudelijke conclusies. In deze cursus doe je de analyses in SPSS, met menu's als Analyze, Descriptive Statistics, Frequencies en Descriptives.

Representativiteit van een steekproef

Een steekproef is pas bruikbaar voor uitspraken over een populatie als hij representatief is. De sterkste garantie is een aselecte (random) steekproef: iedere eenheid in de populatie heeft dezelfde kans om getrokken te worden. Grootte alleen zegt niets: duizend respondenten die zichzelf hebben aangemeld kunnen een vertekend beeld geven. In de practica controleer je representativiteit door achtergrondkenmerken (verdeling mannen en vrouwen, leeftijd, burgerlijke staat) te vergelijken met bekende populatiecijfers. Valt een groep weg, bijvoorbeeld niemand ouder dan 70 jaar, dan mag je over die groep niets concluderen.

Meetniveaus

Het meetniveau bepaalt welke berekeningen zinvol zijn, en daarmee welke maten, grafieken en later welke toetsen je mag gebruiken. Het is de eerste vraag die je bij elke variabele stelt.

Nominaal en ordinaal heten samen categorisch; interval en ratio heten samen continu of metrisch. In het college werden drie vragen over migratie vergeleken: "bent u voor de komst van migranten?" (ja of nee) is nominaal, een stelling met vijf antwoordcategorieën van zeer oneens tot zeer eens is ordinaal, en een schaal van 0 (slechter) tot 10 (beter) wordt meestal als interval behandeld.

Grafische weergave

Ook de keuze van een grafiek volgt het meetniveau.

• Categorische variabelen: staafdiagram (bar chart) of cirkeldiagram (pie chart). Een staafdiagram met percentages laat verschillen tussen categorieën meestal beter zien dan een cirkeldiagram.
• Continue variabelen: histogram (staven tegen elkaar aan, want de schaal loopt door), puntendiagram, stam-en-bladdiagram en boxplot.

Een boxplot toont de mediaan (de streep in de doos), het eerste en derde kwartiel (de randen van de doos, samen de interkwartielafstand), de snorharen (whiskers) tot de laagste en hoogste niet-extreme waarde, en uitschieters als losse punten. Boxplots zijn handig om groepen naast elkaar te vergelijken, bijvoorbeeld uren werk per opleidingsniveau. Een kleine doos betekent dat de middelste 50% dicht bij elkaar ligt; daardoor worden er sneller scores als uitschieter aangemerkt.

Centrale tendentie: modus, mediaan en gemiddelde

Een maat van centrale tendentie (locatie) geeft met één getal aan waar het midden van de scores ligt.

• Modus: de score die het vaakst voorkomt. Bruikbaar op elk meetniveau.
• Mediaan: de middelste score als je de scores van laag naar hoog ordent. De positie van de mediaan is $(n+1)/2$. Bij een even aantal scores neem je het gemiddelde van de twee middelste. Vereist minstens ordinaal niveau.
• Gemiddelde: de som van alle scores gedeeld door het aantal scores. Vereist interval of ratio.

Voorbeeld. Vijf studenten halen de cijfers 7, 3, 5, 8 en 7. De modus is 7. Geordend: 3, 5, 7, 7, 8; de mediaan staat op positie $(5+1)/2=3$ en is 7. Het gemiddelde is $30/5=6$.

Het gemiddelde wordt "meegetrokken" door extreme waarden, de mediaan niet. Bij het aantal volgers van politici (een paar politici met enorm veel volgers) of het aantal uren vrijwilligerswerk (de meeste mensen 0 uur, enkelen heel veel) geeft de mediaan daarom een eerlijker beeld van de doorsnee eenheid.

Spreiding: range, interkwartielafstand, variantie en standaardafwijking

Twee groepen kunnen hetzelfde gemiddelde hebben en toch heel anders verdeeld zijn. Spreidingsmaten geven aan hoe ver de scores uit elkaar liggen.

• Range (bereik): hoogste min laagste score. Eenvoudig, maar bepaald door twee extreme waarden.
• Interkwartielafstand (IQR): de afstand tussen het derde kwartiel $Q_U$ en het eerste kwartiel $Q_L$: het bereik van de middelste 50% van de scores. Ongevoelig voor uitschieters.
• Variantie: de gemiddelde gekwadrateerde afwijking van het gemiddelde. In een steekproef deel je door $n-1$ in plaats van $n$.
• Standaardafwijking (standaarddeviatie): de wortel uit de variantie. Je kunt die lezen als de "typische afstand" van een score tot het gemiddelde, in de oorspronkelijke eenheid.

De teller $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$ heet de kwadratensom (sum of squares, SS). Waarom kwadrateren? De gewone afwijkingen tellen altijd op tot 0, omdat positieve en negatieve afwijkingen elkaar opheffen. Door te kwadrateren worden alle afwijkingen positief. Dit principe komt terug bij variantieanalyse en regressie.

Rekenvoorbeeld (cijfers 7, 3, 5, 8, 7).

De afwijkingen tellen op tot 0, de kwadratensom is 16, de variantie 4 en de standaardafwijking 2 cijferpunten.

Een standaardafwijking is op zichzelf niet "hoog" of "laag"; ze krijgt pas betekenis in verhouding tot het gemiddelde en de schaal van de variabele. Daarom zegt de uitwerking van de practicumopdracht dat je over een standaardafwijking van 9 jaar niet zonder meer kunt zeggen of dat veel is.

De empirische regel

Als een variabele (ongeveer) normaal verdeeld is, ligt een vast deel van de scores binnen een bepaald aantal standaardafwijkingen van het gemiddelde:

• ongeveer 68% binnen $\mu \pm 1\sigma$;
• ongeveer 95% binnen $\mu \pm 2\sigma$;
• ongeveer 99,7% binnen $\mu \pm 3\sigma$.

Voorbeeld uit het college. Het aantal volgers van politici heeft $\mu =1932$ en $\sigma =807$. Dan heeft ongeveer 68% van de politici tussen $1932-807=1125$ en $1932+807=2739$ volgers, en ongeveer 95% tussen $1932-2\times 807=318$ en $1932+2\times 807=3546$ volgers. Een politicus met minder dan 318 of meer dan 3546 volgers is vrij uitzonderlijk.

Als vuistregel noemt de cursus een waarneming die meer dan 2 standaardafwijkingen van het gemiddelde ligt uitzonderlijk, en meer dan 3 standaardafwijkingen zeer uitzonderlijk.

Vorm: scheefheid en steilheid

De vorm van een verdeling bepaalt welke maten eerlijk zijn en of statistische procedures die een normale verdeling veronderstellen te gebruiken zijn.

• Symmetrisch: gemiddelde, mediaan en modus vallen (bijna) samen.
• Rechtsscheef (positieve scheefheid): een lange staart naar rechts, dus een paar hoge uitschieters. Het gemiddelde ligt dan boven de mediaan: gemiddelde > mediaan > modus. Typisch voor inkomen, aantal kinderen, uren vrijwilligerswerk, aantal retweets.
• Linksscheef (negatieve scheefheid): een lange staart naar links. Het gemiddelde ligt onder de mediaan: gemiddelde < mediaan < modus.

Onthoud: de staart wijst de richting aan, en het gemiddelde schuift mee met de staart. De twee belangrijkste gevolgen van een scheve verdeling zijn dat het gemiddelde wordt meegetrokken door extreme waarden en dat spreidingsmaten als de standaardafwijking sterk door extreme waarden worden beïnvloed.

Steilheid (kurtosis) gaat over hoe spits of plat de verdeling is. Een spitse verdeling (leptokurtisch, positieve kurtosis) heeft veel scores rond het midden en dikke staarten; een platte verdeling (platykurtisch, negatieve kurtosis) heeft de scores meer uitgesmeerd.

Scheefheid en kurtosis toetsen met hun standaardfout

SPSS geeft bij Descriptives of Frequencies de waarden voor skewness en kurtosis met hun standaardfout. Deel je de waarde door de standaardfout, dan krijg je een soort z-score. De vuistregel in de cursus:

Is de uitkomst kleiner dan 2 (in absolute zin), dan wijkt de vorm niet ernstig af van normaal. In het college had een variabele een skewness van 0,853 met standaardfout 0,172: $0,853/0,172=4,96$. Dat is ruim boven 2, dus de variabele is duidelijk (rechts)scheef.

Beschrijvende statistiek in SPSS lezen

In de practica vraag je beschrijvende statistieken op via Analyze, Descriptive Statistics, Frequencies (met frequentietabel en grafieken) of Descriptives. Met Data, Split File kun je dezelfde statistieken per groep laten berekenen, bijvoorbeeld voor mannen en vrouwen apart. Let bij het lezen op:

• N valid en missing: hoeveel respondenten een geldige score hebben. Bij de vraag op welke leeftijd iemand in aanraking kwam met softdrugs had het grootste deel geen score; conclusies gelden dan alleen voor de groep die wel antwoordde.
• Cumulatieve percentages: de mediaan ligt in de categorie waar het cumulatieve percentage voor het eerst boven de 50% komt.
• Vergelijking gemiddelde en mediaan: een snelle check op scheefheid.

Voorbeeld uit de practicumopdracht. Mannen werken gemiddeld 42,68 uur (s = 11,40), vrouwen 28,82 uur (s = 12,30). Het verschil in gemiddelde is 13,86 uur, terwijl de standaardafwijkingen dicht bij elkaar liggen. Uren vrijwilligerswerk hebben gemiddeld 4,45 uur, maar modus en mediaan zijn 0: een extreem rechtsscheve verdeling waarbij de mediaan de doorsnee Nederlander beter beschrijft.