HC 5: Factoriële variantieanalyse

Vaak heeft een uitkomst meer dan één verklarende factor. Het cijfer van een student hangt misschien af van de leerstijl én van de doceerstijl. Een factoriële variantieanalyse (two-way ANOVA) onderzoekt twee factoren tegelijk en vooral de vraag of ze elkaar beïnvloeden: werkt een leerstijl anders afhankelijk van de doceerstijl? Dat heet een interactie-effect. Op het tentamen moet je hoofdeffecten en interactie-effecten kunnen onderscheiden, de kwadratensommen kunnen opsplitsen en een interactieplot kunnen lezen.

Opzet van een factorieel experiment

In het college werd de leerstijlcasus uitgebreid met een tweede factor: doceerstijl, met twee niveaus. Klassiek docentgestuurd (plenair, hiërarchisch, voorgestructureerd) en modern studentgericht (democratisch, gericht op zelfstandigheid). Samen met drie leerstijlen geeft dat $3\times 2=6$ groepen van elk 8 studenten.

Drie effecten

• Hoofdeffect van factor A (leerstijl): verschillen de gemiddelden van de leerstijlen, gemiddeld over beide doceerstijlen?
• Hoofdeffect van factor B (doceerstijl): verschillen de twee doceerstijlen, gemiddeld over alle leerstijlen?
• Interactie-effect A×B: hangt het effect van de ene factor af van het niveau van de andere factor?

Eenvoudige effecten zijn onafhankelijk, constant en additief: het effect van A is overal hetzelfde en je kunt de effecten optellen. Bij interactie wordt het effect van A versterkt of verzwakt door B, of bestaat het alleen bij bepaalde waarden van B. Statistisch modelleer je dat met een vermenigvuldiging van de twee factoren.

Opsplitsing van de kwadratensommen

De totale kwadratensom splitst nu in vier delen:

met $S{S}_M=S{S}_A+S{S}_B+S{S}_{A\times B}$. In de casus:

• $S{S}_T\approx 8967$ (zoals bij de one-way ANOVA).
• $S{S}_M$: de zes groepsgemiddelden ten opzichte van het totale gemiddelde, elk maal 8: $\approx 5479$.
• $S{S}_A$: de drie leerstijlgemiddelden, elk maal 16: $\approx 3332$ (gelijk aan de SSM uit de one-way ANOVA).
• $S{S}_B$: de twee doceerstijlgemiddelden (56,46 en 60,21), elk maal 24: $\approx 169$.
• $S{S}_{A\times B}=S{S}_M-S{S}_A-S{S}_B=5479-3332-169\approx 1979$.
• $S{S}_E=S{S}_T-S{S}_M=8967-5479=3488$.

Het model verklaart $5479/8967=61\%$ van de spreiding in tentamencijfers, tegen 37% met alleen leerstijl.

Vrijheidsgraden, MS en F

Elke F is de MS van dat effect gedeeld door dezelfde $M{S}_E$. De df van de error is het aantal eenheden min het aantal groepen (cellen). (Op een collegeslide staat bij $M{S}_A$ als teller 1332; dat moet 3332 zijn, zoals de uitkomst 1666 laat zien.)

Uitkomsten in de casus:

• Het totale model is significant: $F(5,42)=13,20$, $p<0,001$.
• Interactie leerstijl × doceerstijl: $F(2,42)=11,91$, $p<0,001$, significant.
• Hoofdeffect leerstijl: $F(2,42)=20,07$, $p<0,001$, significant.
• Hoofdeffect doceerstijl: $F(1,42)=2,03$, $p=0,161$, niet significant.

Interactie interpreteren

Bekijk eerst het interactie-effect, want dat bepaalt hoe je de hoofdeffecten leest. In een interactieplot (profile plot) staan de groepsgemiddelden: één factor op de horizontale as, de andere als aparte lijnen. Lopen de lijnen (ongeveer) evenwijdig, dan is er geen interactie; lopen ze uiteen of kruisen ze, dan mogelijk wel. Een plot is geen toets: alleen de F-toets op A×B beslist.

In de casus rafel je de interactie verder uit met simple effects: het effect van leerstijl binnen elke doceerstijl apart. Binnen de studentgerichte doceerstijl is het effect van leerstijl significant, $F(2,42)=31,36$, $p<0,001$; daar scoort de reproductiegerichte groep veel lager (35,63 tegen 66,88 en 66,87). Binnen de docentgestuurde stijl is het effect niet significant, $F(2,42)=0,62$, $p=0,546$. Stampen werkt dus vooral slecht in een studentgerichte omgeving.

Een niet-significant hoofdeffect betekent niet dat die factor geen rol speelt. Doceerstijl heeft gemiddeld geen effect, maar wel in combinatie met leerstijl. In het practicum gold hetzelfde: economische sector had geen significant hoofdeffect ($F=0,67$), maar de interactie met leidinggevende functie was sterk ($F=33,80$). De juiste formulering is dan: de sector lijkt op zichzelf geen effect te hebben.

Hypothesen en assumpties

Voor het totale model: $H_0$: alle groepsgemiddelden zijn gelijk (${\mu }_1=\cdots ={\mu }_6$); $H_a$: minstens één wijkt af. Daarnaast heeft elk effect (A, B, A×B) een eigen hypothesepaar. Dezelfde assumpties als bij de one-way ANOVA gelden: groepen van (ongeveer) gelijke grootte en gelijke varianties, getoetst met Levene. In de casus waren de groepen even groot en was Levene niet significant: geen problemen. In het practicum waren beide assumpties geschonden (zeer kleine groep familiebedrijven), wat voorzichtigheid vraagt; een optie is zo'n kleine categorie uit de analyse te halen.

In SPSS: Analyze, General Linear Model, Univariate, met de afhankelijke variabele en de factoren als Fixed Factors, en onder Plots een factor op de horizontale as en de andere als Separate Lines. De tabel Tests of Between-Subjects Effects bevat alle F-waarden.

Rapporteren

Een goede rapportage noemt het totale model, de interactie met uitleg waar de verschillen zitten, en de hoofdeffecten, steeds met F, de twee df en p. Bijvoorbeeld: "Leer- en doceerstijl hebben een gezamenlijk effect op het cijfer, $F(2,42)=11,91$, $p<0,001$. Binnen de studentgerichte doceerstijl scoort de reproductiegerichte groep lager dan de andere groepen. Daarnaast is er een hoofdeffect van leerstijl, $F(2,42)=20,07$, $p<0,001$."