HC 4: Covariantie en correlatie

Zijn beide variabelen van interval- of rationiveau, dan meet je samenhang met covariantie en correlatie. Gaan mensen die meer posten ook meer likes krijgen? Komen mensen die vroeg met softdrugs in aanraking komen ook vroeg in aanraking met hulpverlening? Dit hoofdstuk legt uit hoe covariantie werkt, hoe je die standaardiseert tot Pearsons r, hoe je r interpreteert en toetst, en wanneer je Spearmans rangcorrelatie gebruikt. Correlatie is de opstap naar regressie in HC 6.

Scatterplot: eerst kijken

Begin altijd met een spreidingsdiagram (scatterplot): elke eenheid is een punt met X op de horizontale en Y op de verticale as. Je ziet direct de richting (positief: van linksonder naar rechtsboven; negatief: van linksboven naar rechtsonder), de sterkte (hoe dicht liggen de punten bij een denkbeeldige lijn?), de vorm (recht of gebogen?) en eventuele uitschieters. In SPSS: Graphs, Legacy Dialogs, Scatter/Dot, Simple Scatter.

Covariantie

De variantie meet hoe een variabele rond zijn gemiddelde varieert. De covariantie meet of twee variabelen samen variëren: als X boven zijn gemiddelde ligt, ligt Y dan ook boven zijn gemiddelde?

cov (x, y) = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ( y _{i} - y ˉ )}{N - 1}

Per eenheid vermenigvuldig je de afwijking op X met de afwijking op Y (het kruisproduct). Liggen beide boven of beide onder hun gemiddelde, dan is het product positief; ligt de een boven en de ander onder, dan negatief. De som van de kruisproducten gedeeld door $N - 1$ is de covariantie.

Positieve covariantie: positieve samenhang.
Negatieve covariantie: negatieve samenhang.
Covariantie rond 0: geen lineaire samenhang.

Het nadeel: de covariantie hangt af van de meeteenheden. Meet je leeftijd in maanden in plaats van jaren, dan wordt de covariantie twaalf keer zo groot, terwijl de samenhang hetzelfde blijft. Daarom is het getal lastig te interpreteren.

Rekenvoorbeeld. Vier studenten: studie-uren 2, 4, 6, 8 ( $\overset{x}{ˉ} = 5$ ) en cijfer 5, 6, 6, 7 ( $\overset{y}{ˉ} = 6$ ). Afwijkingen X: −3, −1, 1, 3; afwijkingen Y: −1, 0, 0, 1. Kruisproducten: 3, 0, 0, 3, som 6. Covariantie $6/3 = 2$ .

Pearsons correlatiecoëfficiënt

Door de covariantie te delen door het product van de standaardafwijkingen krijg je een gestandaardiseerde maat:

r = \frac{cov ( x , y )}{s _{x} \cdot s _{y}}

Pearsons r ligt altijd tussen −1 en +1. In het rekenvoorbeeld: $s_{x} = 20/3 = 2, 582$ , $s_{y} = 2/3 = 0, 816$ , dus $r = 2/ (2, 582 \times 0, 816) = 0, 95$ : een zeer sterke positieve samenhang.

Voorbeeld uit het practicum. Leeftijd eerste contact met softdrugs (s = 10,253) en leeftijd eerste contact met mentale hulpverlening (s = 11,364) hebben een covariantie van 48,34. Dan $r = 48, 34/ (10, 253 \times 11, 364) = 0, 415$ , met Sig. = 0,002. In de SPSS-tabel staan op de diagonaal de varianties (105,131 en 129,151); de correlatie van een variabele met zichzelf is altijd 1.

Interpretatie van r

Het teken geeft de richting.
De absolute waarde geeft de sterkte. Vuistregels uit het college: rond 0,10 zwak, rond 0,30 matig, vanaf 0,50 sterk. Een r van +1 of −1 is een perfecte lineaire samenhang: alle punten op een rechte lijn.
r is ook een maat voor effectgrootte: hoe groot is de samenhang, los van de significantie.
$r^{2}$ is het deel van de variantie in Y dat samen varieert met X. Bij $r = 0, 874$ (posts en likes in het practicum) is $r^{2} = 0, 764$ : 76,4% van de spreiding in likes hangt samen met het aantal posts.

Drie waarschuwingen. Correlatie is geen causaliteit: er bestaan talloze schijncorrelaties (het college verwees naar een website vol absurde voorbeelden). Pearsons r meet alleen lineaire samenhang: een sterk gebogen verband kan r rond 0 geven. En uitschieters kunnen r sterk vertekenen.

Significantie van een correlatie

Een correlatie in de steekproef kan door toeval afwijken van 0. SPSS toetst $H_{0} : ρ = 0$ tegen $H_{a} : ρ \neq = 0$ , waarbij $ρ$ (rho) de correlatie in de populatie is. Is Sig. kleiner dan $α$ , dan bestaat de samenhang ook in de populatie. Let op: bij grote steekproeven is een zwakke correlatie al snel significant. Significantie en sterkte zijn twee verschillende vragen.

In SPSS: Analyze, Correlate, Bivariate, Pearson. Met de optie Cross-product deviations and covariances krijg je ook de kruisproducten en de covariantie.

Spearmans rangcorrelatie

Bij twee ordinale variabelen, of bij een scheve verdeling met uitschieters, gebruik je Spearmans rangcorrelatiecoëfficiënt. Je zet de scores om in rangnummers en berekent daarop de correlatie. Ook die ligt tussen −1 en +1. Spearman meet of de samenhang monotoon is (hoe hoger X, hoe hoger Y), zonder dat het verband recht hoeft te zijn.

Uitgewerkt voorbeeld: posts en likes

In de practicumopdracht werd voor een steekproef van 100 respondenten het aantal posts per dag (X) en het aantal likes (Y) bekeken. Het scatterplot liet een duidelijke wolk van linksonder naar rechtsboven zien. De bivariate correlatieanalyse gaf $r = 0, 874$ , Sig. = 0,000. Interpretatie in drie stappen:

Richting: positief; wie meer post, krijgt meer likes.
Sterkte: 0,874 is ruim boven 0,50, dus een sterke samenhang. Het kwadraat, 0,764, laat zien dat ruim driekwart van de spreiding in likes samenhangt met het aantal posts.
Significantie: Sig. is kleiner dan elke gangbare $α$ , dus de samenhang bestaat ook in de populatie.

Een correlatie zegt niet hoeveel likes één extra post oplevert; dat is de regressiecoëfficiënt (in dezelfde opdracht 0,759 likes per post). En ze zegt ook niet dat posten de oorzaak is: mensen met veel vrienden posten misschien zowel meer als dat ze meer likes krijgen.

Correlatie tegenover regressie

	Correlatie r	Regressiecoëfficiënt b
Wat	Sterkte en richting van de lineaire samenhang	Verandering in Y bij één eenheid meer X
Bereik	Van −1 tot +1	Elke waarde, ook groter dan 1
Eenheid	Geen (gestandaardiseerd)	Eenheid van Y per eenheid van X
Symmetrie	r van X met Y is gelijk aan r van Y met X	Er is een afhankelijke en een onafhankelijke variabele

Een correlatie van 0,8 zegt dat de samenhang sterk is, maar niet hoeveel Y verandert als X toeneemt. Voor richting en voorspelling heb je regressie nodig.

Voor het tentamen

Covariantie $= \sum (x - \overset{x}{ˉ}) (y - \overset{y}{ˉ}) / (N - 1)$ ; hangt af van de meeteenheden.
$r = cov / (s_{x} s_{y})$ ; tussen −1 en +1; 0,10 zwak, 0,30 matig, 0,50 sterk.
Pearson bij interval/ratio, Spearman bij ordinaal of bij sterke scheefheid.
r meet alleen lineaire samenhang en zegt niets over oorzaak en gevolg.
Significantie van r (Sig. tegen $α$ ) is iets anders dan de sterkte van r.
Op de diagonaal van een covariantietabel staan de varianties.

Andere hoofdstukken van Kwantitatieve Methoden 1

Test jezelf met oefenvragen