HC 3: Twee gemiddelden vergelijken

Vaak wil je niet één gemiddelde met een vaste waarde vergelijken, maar twee gemiddelden met elkaar. Verschilt de actiebereidheid tussen mensen met een laag en een hoog inkomen? Is de actiebereidheid kleiner dan de waardering voor de natuur bij dezelfde mensen? Daarvoor zijn er twee varianten van de t-toets: de independent samples t-toets voor twee aparte groepen en de paired samples t-toets voor twee metingen bij dezelfde eenheden. Het belangrijkste tentamenpunt is herkennen welke toets past, gevolgd door het lezen van de SPSS-output, inclusief Levene's toets.

Welke t-toets?

Toets	Vergelijking	Voorbeeld	Toetsingsgrootheid
One-sample	Eén steekproefgemiddelde met een vaste waarde	Actiebereidheid nu tegen 2,5 in 2002	$t = \frac{x ˉ - μ _{0}}{S E}$
Independent samples	Gemiddelden van twee verschillende groepen op dezelfde variabele	Actiebereidheid van lage tegen hoge inkomens	$t = \frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - D _{0}}{S E _{\overset{x}{ˉ}_{1} - \overset{x}{ˉ}_{2}}}$
Paired samples	Twee variabelen (of twee metingen) bij dezelfde groep	Actiebereidheid tegen waardering voor de natuur, beide bij dezelfde respondenten	$t = \frac{x ˉ _{D} - D _{0}}{S E _{D}}$

Vuistregel: komen de twee gemiddelden van verschillende personen (twee steekproeven), dan is het independent; komen ze van dezelfde personen (twee scores per persoon), dan is het paired. $D_{0}$ is het verschil onder H0, bijna altijd 0.

Independent samples t-toets

De datamatrix heeft een groeperingsvariabele (bijvoorbeeld inkomen: laag of hoog) en een afhankelijke variabele van interval- of rationiveau (actiebereidheid). Je vergelijkt de gemiddelden van de twee groepen.

Hypothesen. $H_{0} : μ_{1} = μ_{2}$ (ofwel $μ_{1} - μ_{2} = 0$ ); $H_{a} : μ_{1} \neq = μ_{2}$ bij een tweezijdige vraag, of $μ_{1} - μ_{2} > 0$ bij een gerichte verwachting.

Voorbeeld uit het college. Lage inkomens: gemiddelde 2,7422 (s = 0,820); hoge inkomens: 2,8355 (s = 0,732). Verschil $- 0, 09329$ , standaardfout van het verschil 0,09232.

t = \frac{- 0 , 09329}{0 , 09232} = - 1, 01

Met $α = 0, 05$ tweezijdig zijn de kritieke waarden ±1,96. $- 1, 01$ ligt daartussen en $p = 0, 313 > 0, 05$ . H0 wordt niet verworpen: er is geen aanwijzing dat lage en hoge inkomens verschillen in actiebereidheid.

Voorbeeld uit het practicum (eenzijdig). Gaan HBO'ers later het huis uit dan WO'ers? $H_{0} : μ_{hb o} - μ_{w o} = 0$ ; $H_{a} : μ_{hb o} - μ_{w o} > 0$ . $α = 0, 05$ eenzijdig: kritieke waarde 1,645. HBO 21,44 jaar, WO 20,27 jaar, verschil 1,166, standaardfout 0,454.

t = \frac{1 , 166}{0 , 454} = 2, 57

SPSS geeft Sig. (2-tailed) = 0,011; eenzijdig is dat $0, 011/2 = 0, 0055$ . H0 verwerpen: HBO'ers gaan later het huis uit. Het 95%-interval van het verschil (0,272 tot 2,060) bevat de 0 niet. Let bij een eenzijdige toets op de volgorde van de groepen: staat WO als groep 1, dan zoek je een negatief verschil en is de kritieke waarde $- 1, 645$ .

Levene's toets: gelijke varianties?

De standaard independent t-toets gaat ervan uit dat de varianties in beide groepen gelijk zijn. SPSS toetst dat met Levene's test:

$H_{0} : σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2}$ (varianties gelijk); $H_{a} : σ_{1}^{2} \neq = σ_{2}^{2}$ .
Is de Sig. van Levene groter dan 0,05, dan verwerp je H0 niet: lees de rij Equal variances assumed.
Is de Sig. kleiner dan 0,05, dan zijn de varianties ongelijk: lees de rij Equal variances not assumed (met een gecorrigeerde t en aangepaste vrijheidsgraden).

In het practicum was de Sig. van Levene 0,520: varianties gelijk, dus de bovenste rij. De standaardafwijkingen (3,634 en 3,589) lagen dicht bij elkaar, terwijl de standaardfouten van de groepen verschilden (0,263 en 0,368) door de verschillende groepsgrootte. Let op: bij Levene hoop je meestal juist niet te verwerpen, het omgekeerde van de hoofdtoets.

Paired samples t-toets

Bij gepaarde waarnemingen heb je per eenheid twee scores. Je berekent per eenheid het verschil $D_{i} = x_{1 i} - x_{2 i}$ en toetst of het gemiddelde verschil afwijkt van 0. Eigenlijk is dit een one-sample t-toets op de verschilscores. Het voordeel: verschillen tussen personen (de een scoort overal hoog, de ander overal laag) vallen weg, zodat de toets gevoeliger is. Een independent toets zou hier fout zijn, omdat de twee scores van dezelfde persoon niet onafhankelijk zijn.

Voorbeeld uit het college. Is de actiebereidheid van Nederlanders kleiner dan hun waardering voor de natuur?

$H_{0} : μ_{D} \geq 0$ ; $H_{a} : μ_{D} < 0$ met $D$ = actiebereidheid min waardering.
$α = 0, 05$ eenzijdig, $n = 297$ : kritieke waarde $- 1, 645$ .
Actiebereidheid 2,7872, waardering 3,4696, gemiddeld verschil $- 0, 68423$ , standaardfout 0,04617.

t = \frac{- 0 , 68423}{0 , 04617} = - 14, 8

Dit ligt ver voorbij $- 1, 645$ , $p < 0, 001$ : H0 verwerpen. Nederlanders waarderen de natuur gemiddeld meer dan dat ze bereid zijn er actie voor te ondernemen.

Voorbeeld uit het practicum. Bij LBO'ers is het gemiddelde verschil tussen leeftijd het huis uit (23,03) en leeftijd vaste relatie (23,30) gelijk aan $- 0, 27$ , met standaardfout 0,734: $t = - 0, 36$ , Sig. = 0,718. Bij $α = 0, 10$ tweezijdig (±1,645) wordt H0 niet verworpen. Bij MBO'ers is het verschil $- 1, 545$ met standaardfout 0,622: $t = - 2, 48$ . Eenzijdig bij $α = 0, 01$ (kritieke waarde $- 2, 326$ ) wordt H0 wel verworpen, tweezijdig (±2,576) niet.

SPSS-output lezen

Group Statistics / Paired Samples Statistics: $n$ , gemiddelde, standaardafwijking en standaardfout per groep of variabele.
Independent Samples Test: eerst Levene (F en Sig.), dan per rij t, df, Sig. (2-tailed), Mean Difference, Std. Error Difference en het interval van het verschil.
Paired Samples Test: Mean (het gemiddelde verschil), Std. Deviation, Std. Error Mean, het interval, t, df en Sig.
Controle: t = Mean Difference / Std. Error Difference. Dat kun je altijd zelf narekenen.

Menu's: Analyze, Compare Means, Independent-Samples T Test (met Grouping Variable en Define Groups) of Paired-Samples T Test (twee variabelen als paar).

Van twee naar meer groepen

Een t-toets vergelijkt precies twee gemiddelden. Heb je drie of meer groepen, dan is een reeks t-toetsen niet toegestaan vanwege kanskapitalisatie; dan gebruik je variantieanalyse (HC 5). Bij precies twee groepen geven t-toets en variantieanalyse hetzelfde resultaat: $F = t^{2}$ .

Voor het tentamen

Twee groepen, één variabele: independent. Eén groep, twee variabelen of twee metingen: paired.
t = verschil gedeeld door de standaardfout van het verschil.
Levene Sig. > 0,05: varianties gelijk, bovenste rij. Levene Sig. < 0,05: onderste rij.
Eenzijdig: p uit SPSS delen door 2 en letten op het teken van het verschil (welke groep is groep 1?).
De paired t-toets is een one-sample t-toets op de verschilscores.

Andere hoofdstukken van Kwantitatieve Methoden 1

Test jezelf met oefenvragen