HC 1: Normale verdeling en z-scores

De normale verdeling is de belangrijkste verdeling in deze cursus. Met een z-score druk je uit hoe uitzonderlijk een score is, en met de tabel van de standaardnormale verdeling vertaal je die z-score naar een kans. Dit is de techniek achter alles wat volgt: betrouwbaarheidsintervallen, kritieke waarden en toetsen zijn allemaal toepassingen van "hoeveel standaardafwijkingen ligt iets van het midden, en hoe groot is de kans daarop?" Op het tentamen moet je z-scores uitrekenen, kansen bepalen met een gegeven tabelwaarde en omgekeerd een score vinden bij een gegeven percentage.

De normale verdeling

Een normale verdeling is klokvormig en symmetrisch rond het gemiddelde $\mu$. Gemiddelde, mediaan en modus vallen samen. De spreiding wordt bepaald door de standaardafwijking $\sigma$: hoe groter $\sigma$, hoe breder en platter de klok. Elke combinatie van $\mu$ en $\sigma$ geeft een andere normale verdeling, maar ze hebben allemaal dezelfde vorm. Daarom kun je ze allemaal omrekenen naar één standaardversie.

Wanneer is een variabele bij benadering normaal verdeeld? Gemiddelde, mediaan en modus liggen dicht bij elkaar, het histogram lijkt op een klok en skewness en kurtosis zijn klein ten opzichte van hun standaardfout.

Kans bij een continue verdeling is een oppervlakte

Bij een continue variabele zoals tijdsduur of leeftijd kun je niet de kans op één exacte waarde berekenen: de kans op precies 42,000 jaar is 0. Een kans is bij een continue verdeling altijd de oppervlakte onder de curve tussen twee grenzen: $P(c\le X\le d)$. De totale oppervlakte onder de curve is 1 (100%). Als je in de praktijk toch naar "42 jaar" vraagt, bedoel je eigenlijk het interval van 42 tot 43.

De z-score: relatieve positie

Een z-score geeft aan hoeveel standaardafwijkingen een score boven (positief) of onder (negatief) het gemiddelde ligt.

Voorbeeld uit het college. Het aantal retweets per tweet van politici is normaal verdeeld met $\mu =13,75$ en $\sigma =6,135$. Een politicus met 25 retweets heeft

Deze score ligt dus 1,83 standaardafwijkingen boven het gemiddelde.

Vergelijken tussen groepen. In de practicumopdracht werkt iemand 50 uur. Voor mannen ($\mu =42,68$, $\sigma =11,402$) is $z=(50-42,68)/11,402=0,64$; voor vrouwen ($\mu =28,82$, $\sigma =12,302$) is $z=(50-28,82)/12,302=1,72$. Dezelfde 50 uur is voor een vrouw dus uitzonderlijker dan voor een man. Dat is precies waar z-scores voor dienen: scores vergelijken die uit verdelingen met een ander gemiddelde of een andere spreiding komen.

De standaardnormale verdeling en de z-tabel

Als je elke score van een normale verdeling omrekent naar een z-score, krijg je de standaardnormale verdeling: gemiddelde 0 en standaardafwijking 1. Voor die ene verdeling staan de oppervlaktes in een tabel (Appendix A.1 in Field). De tabel geeft bij elke positieve z twee getallen: de larger portion (de oppervlakte aan de grote kant, dus links van z) en de smaller portion (de oppervlakte rechts van z, in de staart). Samen is dat 1. Omdat de verdeling symmetrisch is, gebruik je voor een negatieve z dezelfde regel: de oppervlakte links van $-z$ is gelijk aan de oppervlakte rechts van $+z$.

Uitgewerkte voorbeelden

Kans boven een waarde. Wat is de kans dat een politicus meer dan 25 retweets krijgt? $z=1,83$. De tabel geeft voor $z=1,83$ een larger portion van 0,96638 en een smaller portion van 0,03362. Gevraagd is "meer dan", dus de staart rechts: ongeveer 3,4%.

Kans onder een waarde. Wat is de kans op minder dan 10 retweets? $z=(10-13,75)/6,135=-0,61$. De oppervlakte links van $-0,61$ is gelijk aan de oppervlakte rechts van $+0,61$: de smaller portion bij 0,61, ongeveer 0,271. Dus zo'n 27%. (Bij een grens van 11 retweets wordt $z=-0,45$ en de kans 0,326.)

Kans tussen twee waarden. In de practicumopdracht is de leeftijd waarop mensen voor het eerst met mentale hulpverlening in aanraking komen normaal verdeeld met $\mu =31,68$ en $\sigma =11,597$. Gevraagd: de kans op een leeftijd tussen 20 en 40.

De oppervlakte tussen het gemiddelde en $z=1,01$ is ongeveer 0,344 (namelijk 0,5 min de staart van 0,156); tussen het gemiddelde en $z=0,72$ ongeveer 0,264. Omdat de twee grenzen aan weerszijden van het gemiddelde liggen, tel je ze op: $0,344+0,264=0,608$. Ongeveer 61% komt tussen het 20e en 40e jaar met hulpverlening in aanraking. Liggen beide grenzen aan dezelfde kant, dan trek je de oppervlaktes van elkaar af.

Kans op een interval van één jaar. De kans op "42 jaar" is de oppervlakte tussen 42 en 43: $z=0,89$ en $z=0,98$. De staart rechts van 0,89 is 0,18673, die rechts van 0,98 is 0,16354; het verschil is 0,023, ongeveer 2,3%.

Omgekeerd: van kans naar score

Soms is de kans gegeven en zoek je de bijbehorende score. Dan zoek je eerst de z-waarde op in de tabel en reken je de formule terug:

De jongste 10%. Zoek de z waarbij de smaller portion 0,10 is: $z=1,28$. Voor de linkerstaart is dat $-1,28$. Dan $x=31,68-1,28\times 11,597=16,84$. De jongste 10% komt dus voor het 17e levensjaar in aanraking met hulpverlening.

De middelste 95%. Buiten het interval valt 5%, dus 2,5% per staart: $z=\pm 1,96$. Grenzen: $31,68\pm 1,96\times 11,597$, dus van 8,95 tot 54,41 jaar.

Wanneer is iemand uitzonderlijk? Voor mannen ligt "2 standaardafwijkingen onder het gemiddelde" bij $42,68-2\times 11,402=19,88$ uur. Een man die minder dan ongeveer 20 uur werkt, is in deze steekproef uitzonderlijk; voor vrouwen ligt die grens bij $28,82-2\times 12,302=4,22$ uur.

Belangrijke z-waarden om te kennen

Voor een eenzijdige vraag (alleen een staart rechts of links) gebruik je de z die bij de hele staart hoort: 5% in één staart geeft $z=1,645$, 1% in één staart geeft $z=2,326$. Deze waarden komen in de volgende hoofdstukken terug als kritieke waarden.

Veelgemaakte fouten

• De larger en smaller portion verwisselen. Schets altijd eerst welk deel je zoekt.
• Bij "tussen twee waarden" vergeten dat je moet optellen als de grenzen aan weerszijden van het gemiddelde liggen, en aftrekken als ze aan dezelfde kant liggen.
• Een z-score voor een individuele score verwarren met een z-score voor een steekproefgemiddelde. Voor een gemiddelde deel je niet door $\sigma$ maar door de standaardfout (hoofdstuk over de steekproevenverdeling).
• De normale verdeling gebruiken bij een duidelijk scheve variabele. De z-tabel geeft dan geen kloppende kansen.